Операции над матрицами
Date: 2015-10-07; view: 422.
1. Сложение и вычитание можно производить над матрицами, имеющими одинаковые размеры. Пусть 
и 
– матрицы размера 
:
, 
.
Суммой матриц одного размера называется матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых:
.
Произведением матрицы на число 
называется матрица, элементы которой равны произведению всех элементов заданной матрицы на число : 
.
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число удовлетворяют всем тем свойствам, которые имеют место для операций над действительными числами.
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их элементы, стоящие на одинаковых местах, равны:
( 
) 
.
3. Умножение матрицы на матрицу не всегда возможно. Оно определяется только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
, каждый элемент 
которой равен сумме произведений элементов 
-ой строки матрицы на соответствующие элементы 
-ого столбца матрицы : 
Иначе, 
Следует заметить, что для умножения матриц свойство перестановочности не выполняется: 
.
Действительно, если первое произведение существует, то при этом второе может и не существовать. Более того, существуют такие матрицы, которые можно перемножить в любом порядке, но при этом равенства произведений 
не будет.
Единичная матрица 
обладает свойством, аналогичным свойству числа 1 во множестве чисел. Если – матрица размера , то справа ее можно умножить на единичную матрицу 
-го порядка и при этом 
В то же время матрицу можно умножить на единичную матрицу и слева. Но в этом случае единичная матрица должна иметь порядок 
: 
.
4. Транспонирование матрицы – это переход от матрицы к матрице 
, в которой строки и столбцы матрицы поменялись местами с сохранением порядка следования: 
, 
Например, для матрицы 
транспонированной будет матрица 
.
5. Матрица 
, обратная к квадратной , – это матрица, удовлетворяющая условию 
, где – единичная матрица.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Матрицы и операции над ними | | | Задачи. |