Задачи.

Date: 2015-10-07; view: 459.

1. Указать, какие из следующих операций можно выполнить, если а : а) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; k) .

Решение.b) Матрица имеет размеры , тогда размеры транспонированной матрицы равны и совпадают с размерами матрицы . Значит, операция выполнима и + = . d) Матрица имеет размеры , а матрица – размеры . Так как число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго сомножителя, то произведение существует. Найдем это произведение – матрицу размера : . Согласно определению произведения матриц для получения элементов первой строки матрицы рассмотрим первую строку матрицы . Элемент равен сумме произведений элементов первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы :

; аналогично, , и .

Элементы второй строки матрицы находятся как суммы произведений элементов второй строки матрицы на соответствующие элементы первого, второго и третьего столбцов матрицы :

,

,

.

Элементы третьей строки матрицы находятся умножением третьей строки матрицы на соответствующие элементы первого, второго и третьего столбцов матрицы :

,

,

.

Все вычисления, производимые при умножении матриц, записывают следующим образом:

.

2.Докажите, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

1) ;

2) ;

3) :

4) Для любой матрицы существует матрица такая, что

.

Матрицу называют матрицей противоположной и обозначают символом (– ).

5) ;

6) ; 7) ;

8) .

3. Укажите, для каких пар матриц А и В существуют произведения и : a) ; b) .

4. Найдите произведение матриц: a) ; b) ;

c) ; d) ; e) .

5. На примерах квадратных матриц второго порядка проверьте ваполнимость следующих свойств операции умножения матриц:

1) ,

2) ,

3) .

6. Найдите матрицу 1) , 2) , если , .

7. Найдите значение многочлена 1) , 2) , если переменной является матрица: a) , b) .

Решение.( 1b)Значение многочлена 1) при равно .Будем выполнять действия над матрицей последовательно.

1. ; 2. ; 3. +5 .

Заметим, что число 5 обозначает здесь матрицу вида

.

8. На матрицах третьего порядка проверьте выполнимость следующих свойств операции транспонирования:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

9. Проверьте, являются ли взаимно обратными матрицы а) и ; б) и .

10.Выясните, какие из приведенных ниже матриц имеют обратные:

а) ; b) ; c) ; d) .

11. Найдите матрицы, обратные заданным:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Для нахождения обратной матрицы используют так называемые элементарные преобразования матрицы. К ним относятся: 1) умножение строки матрицы на отличное от 0 число, 2) сложение строк, 3) сложение строки с другой строкой, умноженной на отличное от 0 число, 4) перестановка строк.

Решение.Найдем матрицу, обратную матрице 4). Для этого припишем справа к этой матрице единичную матрицу 3-его порядка и, используя элементарные преобразования, преобразуем полученную матрицу так, чтобы на месте данной матрицы оказалась матрица единичная, тогда на месте приписанной единичной матрицы будет стоять матрица, обратная к данной.

.

Поясним, как осуществляется переход к каждой последующей матрице. Вторая матрица получится, если первую строку исходной матрицы сложить с последней ее строкой.

Третья матрица получается делением первой строки второй матрицы на число 7.

Чтобы получить четвертую матрицу, надо выполнить две операции над строками третьей: 1) ко второй строке прибавить первую, 2) первую строку третьей матрицы умножить на (-4) и сложить с третьей ее строкой.

Пятая матрица получится, если: 1) вторую строку разделить на 2 , 2) вторую строку, деленную на 2, сложить с третьей.

Наконец переставляем строки так, чтобы на месте заданной матрицы стояла матрица единичная. Тогда обратной к данной матрице будет матрица

.

12. Даны матрицы . Найдите матрицу: а) ;

b) ; c) .

13. Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей , то есть матрицы , для которых выполняется условие :

а) ; b) ; c) .

14. Найдите все матрицы второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице.

15. Найдите все матрицы второго порядка, квадрат которых равен единичной матрице.