Метод Гаусса

Date: 2015-10-07; view: 400.

Методы решения систем линейных уравнений

,

Это метод последовательного исключения переменных с целью приведения системы к виду, при котором каждое уравнение содержит переменную, отсутствующую во всех остальных.

Этот метод впервые был описан К. Гауссом (1777 – 1855) в 1849 году[1]. Однако следует заметить, что прием решения системы из n линейных уравнений с n переменными по существу совпадающий с методом Гаусса, был разработан в Древнем Китае ещё до нашей эры. Он изложен в восьмой книге анонимной древнекитайской «Математики в девяти книгах» и назван правилом «Фан-чэн». Своеобразие правила «Фан-чэн» составляет техника вычислений, проводившихся на специальной счетной доске[2].

В основе метода Гаусса лежат элементарные преобразования системы:

1) перестановка уравнений в системе;

2) удаление из системы уравнения вида .

3) Сложение уравнения с другим уравнением, умноженным на любое число .

Идея метода Гаусса состоит в том, чтобы, используя элементарные преобразования, привести систему к такому виду, при котором каждое ее уравнение содержит переменную, которой нет ни в каком из последующих уравнений или ни в каком другом уравнении. Матрицы системы после всех преобразований будут соответственно выглядеть следующим образом:

(1) или . (2)

Замечания:

1. Здесь , так как в процессе преобразований уравнения вида вычеркиваются.

2. Если в процессе преобразований системы появляется уравнение , то система решений не имеет.