Действия над векторами, заданными своими координатами

Date: 2015-10-07; view: 662.

Основные понятия и определения

В математике и ее приложениях встречаются различные величины. Некоторые из них, например, длина линии, площадь фигуры, объем или масса тела, полностью определяются числом. Такие величины называют скалярами.

Для определения других величин, таких, например, как скорость или сила, недостаточно одного числа, а необходимо знать присущее им направление. Такие величины называют векторными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отрезок прямой линии называют направленным отрезком или вектором, если указано, какой из его концов является началом отрезка, а какой – концом.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначают или . Длину вектора называют его модулем и обозначают ; если вектор записан одной буквой, то его модуль обозначают .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Три вектора называют компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Равенство векторов записывают в виде = . Определение равенства векторов означает, что при совмещении их начал совпадут и их концы.

Если начало вектора совпадает с его концом, то вектор изображается одной точкой и не имеет направления. Такой вектор называется нулевым или нуль-вектором. Модуль нулевого вектора равен нулю. В соответствии с определением коллинеарных векторов, нулевой вектор коллинеарен любому другому.

1.2.1. Если вектор задается точками с соответствующими координатами: А( ) и B( ), то координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конечной и начальной точек: ( ).

1.2.2. Длина вектора вычисляется по формуле

.

1.2.3. При сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их одноименные координаты

.

.

1.2.4. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

.

1.2.5. Два вектора и коллинеарны, если пропорциональны их соответствующие координаты

или

.

1.2.6. Скалярное произведение двух векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними

Если векторы заданы координатами, то

.

1.2.7. Скалярное произведение вектора самого на себя (скалярный квадрат вектора)

.

1.2.8. Если векторы перпендикулярны, то

.

Свойства скалярного произведения

1) ;

2) ;

3) .