Векторный базис

Date: 2015-10-07; view: 457.

Базисом в пространстве называются три любых некомпланарных вектора _{, , ,} взятых в определенном порядке.

Любой четвертый вектор можно представить единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса

= х_а + у_а + z_а ,

где х_а, у_а, z_а называются координатами вектора в базисе _{, ,} .

Базис _{, ,} называется ортонормированным, если векторы _, и попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения

= _, = _, = .

Векторы _{, ,} называются ортами.

Проекцией вектора на вектор называется число , где φ – угол между векторами и . Проекции вектора на базисные орты _{, ,} есть координаты вектора х_а, у_а, z_а.

Косинусы углов, которые образует вектор с положительными направлениями координатных осей, называются направляющими косинусами.

Рисунок 1 – Направляющие косинусы

Они вычисляются по формулам

; ; .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением векторов называется третий вектор , длина которого . Вектор перпендикулярен векторам , и направлен так, что тройка векторов , , – правая.

Пусть , , упорядоченная, некомпланарная тройка векторов. Говорят, что они образуют правую тройку, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко вторму вектору виден против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения

1) ;

2) ;

3) .

Векторное произведение вычисляется по формуле

.

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах

.

Если векторы коллинеарны, то

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведением векторов называется векторное произведение, умноженное скалярно на третий вектор

.

Смешанное произведение векторов вычисляется как определитель, составленный из координат этих векторов

.

Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю

.

Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

.

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , вычисляется по формуле

.