Доказательство.

Date: 2015-10-07; view: 378.

Сумма и пересечение двух подпространств.

Пусть и - подпространства в . Суммой этих подпространств будем называть множество .

Лемма. и - подпространства.

Проверить по определению все свойства.

Теорема. Пусть - подпространства в , тогда

1. Если - подпространство, то или

2. если , то .

1. Пусть и , т.е. Но тогда не принадлежит ни (иначе ), ни (иначе ). Значит - не подпространство. Противоречие.

2. Дано, что . Пусть . Тогда

Но тогда и так как . Обратное включение выполняется вообще Действительно, пусть . Тогда . С другой стороны,