Задание линейных отображений матрицами.

Date: 2015-10-07; view: 428.

--- базис , --- базис . . Тогда .

Опр. --- матрица отображения в базисах , .

Пусть (т.к. разложение по базису в пространстве определено однозначно) или (столбцы).

Теорема.При фиксированных базисах в и существует взаимо однозначное соответствие между линейными отображениями из этого множества и матрицами х .

Введём обозначение матрицы}, .

1) Сюръективность : если взять матрицу , то для неё можно подобрать соответствующее линейное отображение: . Зададим на базисе : .

2) Инъективность. Пусть и . Тогда матрица разности отображений

Опр. Если и конечномерны, то ранг это размерность образа, .

Теорема.

Пусть --- базис . Тогда Столбцы матрицы линейного отображения линейно независимы, это означает, что линейно независимы в .

Теорема.

Опять же фиксируем базис: пусть --- базис , --- базис , --- матрица в этих базисах. . Через обозначим . Тогда

(а) - решение системы линейных уравнений .

(б) (предыдущая теорема) = . Следовательно,

Следствие 1.Следующие условия, наложенные на , эквивалентны:

1) инъективно, 2) , 3) .

Следствие 2.Пусть , . Тогда .

1) Если , то . ( ).

2) Пусть теперь ядро = 0. . Тогда инъективно (по предыдущему следствию 1 ) и образ = , следовательно - образ отображения .

Замечание. Линейность Тогда линейна.

14.02.05