Диагонализируемые операторы

Date: 2015-10-07; view: 1315.

Спектр оператора

Опр. Спектром оператора A называется множество всех его собственных значений.

Опр.A – оператор с простым спектром, если , где различны и принадлежат F.

Пример: операция поворота плоскости на угол .

,

Корни A – оператор с простым спектром над , но не над .

Опр. A – диагонализируемый оператор, если существует базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A, т.е. A имеет в некотором базисе матрицу диагонального вида

Лемма. Если - собственные векторы оператора A с различными собственными значениями, то они линейно независимы.

Индукция по k.

База индукции: k=1 – очевидно. Пусть k>1.

- собственные значения и . Тогда , т.е. . Одно из чисел отлично от 0. Пусть . Тогда и (по индукции) все коэффициенты

Теорема. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.

, , с простым спектром.

, различны.

Каждому соответствует по лемме векторы линейно независимы, т.е. - базис V (а это и есть определение диагонализируемого оператора)

Обратное неверно (например, тождественный оператор является диагнолизируемым, но он не имеет простого спектра).

Теорема. A диагонализируема

1. все корни принадлежат F
2. геометрическая кратность любого корня равна его алгебраической кратности

1.

Пусть A диагонализируема, , его собственные значения, dim V = n, - матрица A в некотором базисе из собственных векторов.

Перенумеруем (если необходимо) базис V:

Вычислим :

Все его корни лежат в F (т.к. разложим на линейные множители)

Геометрическая кратность:

Алгебраическая кратность:

Значит, алгебраическая кратность равна геометрической.

2.

Пусть разлагается над F на линейные множители и алгебраическая кратность любого корня равна его геометрической кратности.

Тогда , ,

Рассмотрим сумму подпространств . Если , , то по предыдущей лемме , т.е. - прямая сумма. Кроме того,