Минимальный многочлен оператора

Date: 2015-10-07; view: 474.

Пусть A , , где - единичный оператор.

Опр. - аннулирующий многочлен для оператора А, если

Опр. называется минимальным многочленом А, если

1. - аннулирующий многочлен.
2. Любой другой аннулирующий многочлен делится на без остатка.

Лемма. существует и определен однозначно (с точностью до скалярного множителя)

(а) Существование аннулирующих многочленов.

Пусть А – матрица А. Тогда матрицы линейно зависимы, если N > n² , где , т.е. , где - аннулирующий многочлен.

(б) Существование минимального аннулирующего многочлена.

Пусть и - два аннулирующих многочлена для А и - НОД.

Тогда тоже аннулирующий многочлен аннулирующий многочлен степени k

(в) Единственность минимального аннулирующего многочлена.

Пусть - аннулирующий многочлен степени k, - аннулирующий многочлен.

Тогда их НОД тоже аннулирующий многочлен степени k, делит , но это значит, что = НОД(f,g), а значит делится на минимальный аннулирующий многочлен, кроме того, мы так же доказали и его единственность