Теорема Гамильтона-Кэли

Date: 2015-10-07; view: 636.

Пусть

Теорема. (оператор А аннулируется своим характеристическим многочленом)

Обозначим ,

Тогда и существует собственный вектор

Построим базис , где . Тогда матрица А в этом базисе имеет вид:

, где B – матрица (n-1)x(n-1)

Поэтому

Положим и обозначим через B линейный оператор с матрицей B в базисе . Так как то можем применить индукцию по (с базой n = 1). Итак, пусть . Тогда, так как , то . Вычислим . Ясно, что , а следовательно , .

С другой стороны, . Очевидно, что

Подполя в

Примеры:

Следствие 1. Пусть - пространство над , . Тогда .

Пусть А --- матрица А в некотором базисе .Рассмотрим n-мерное пространство над и оператор B на этом пространстве с той же матрицей А. Тогда . По теореме Гамильтона-Кэли: , т.е. , что и требовалось доказать.

Следствие 2.

(1) Характеристический многочлен делится на минимальный

(2) Если - корень , то - корень

(1) следует из теоремы Гамильтона-Кэли и определения

(2) Пусть - все комплексные корни . Пусть - корень . Тогда . Так как , то

Заметим, что . Поэтому

Но . Значит, , т.е. - один из

ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

В этом разделе будем считать, что , – векторное пространство, над , . Эту теорию можно развивать над любым полем, но наиболее важные результаты получаются, когда поле замкнуто.