Нильпотентные операторы

Date: 2015-10-07; view: 544.

Определение.ℬ - нильпотентный оператор, если ∃m≥1: ℬ^m = 0.

Утверждение. Если ℬ нильпотентен на и , то ℬ = 0.

По теореме Гамильтона-Кэли , . Если , то всё доказано. Пусть теперь . Подставим в многочлен . Тогда существует выражение (наименьшая степень выражается через старшие) для некоторого . Так как нильпотентен, существует : . Если , то и подавно , если , то (домножая равенство двумя строками выше на , пока слева не будет ) получим, что . Провернув это доказательство для этой обнуляющей степени несколько раз получим .

Другое [более нормальное, народ, пользуйтесь им]доказательство того, что :

1) Если , то минимальный многочлен ( ) (так как он делит аннулирующий многочлен ).

2) По теореме Гамильтона-Кэли и определению минимального многочлена делится на .

Лемма 2. Пусть , – собственное значение . Тогда – инвариантное для подпространство и действует на нильпотентно.

1) Инвариантность

Пусть . Докажем, что . . . Итак .

2) Нильпотентность действия

Положим . Выберем базис . Тогда . Если , то .