Доказательство.

Date: 2015-10-07; view: 398.

Разложение в сумму корневых подпространств

Теорема. Пусть , , где при .
Тогда выполняется:

1)

2) Все инвариантны относительно действия .

3) Действие на нильпотентно.

4)

5) Единственным собственным значением на является .

1) Положим . Тогда . Пусть – произвольный вектор из . , , где .

Таким образом . Следовательно, . Эта сумма прямая по лемме 1.

2), 3) – лемма 2.

5) Пусть и . Тогда – это одно из чисел . Если , то .

4) Выберем базисы во всех подпространствах и объединим их. Мы получим базис во всём пространстве . В этом базисе имеет матрицу , где – квадратная матрица размера , . Обозначим через ограничение на , т.е , . Тогда имеет матрицу и только одно собственное значение .

. .