Симметрические и кососимметрические билинейные формы.

Date: 2015-10-07; view: 529.

Опр. называется симметрической билинейной формой, если .

Опр. называется кососимметрической билинейной формой, если .

Если (напоминаем читателю, что это обозначение означает, что характеристика поля не равна двум), то функции не может быть одновременно симметрической и кососимметрической.

Пусть симметрическая билинейная форма, тогда , то есть, матрица симметрическая. .

Аналогично, если - кососимметрическая билинейная форма, то .

Эти свойства не зависят от замены базиса.

Опр. Ядром симметрической (кососимметрической) билинейной формы называют:

.

(множество векторов, ортогональных V).

Можно рассматривать понятие ядра для произвольной билинейной формы, но в таком случае левое и правое ядра могут не совпадать.

Опр. Рангом билинейной формы называют ранг её матрицы. .

Определение ранга билинейной формы не зависит от выбора базиса, т.к. при переходе к новому базису её матрица домножается слева и справа на невырожденные матрицы, и её ранг не изменяется.

Опр. называется невырожденной, если , т.е. .