Алгоритм Лагранжа (приведения к каноническому виду).
Date: 2015-10-07; view: 568.
Пусть 
. Метод заключается в выделении полных квадратов.
ð (1) Пусть 
, например, 
. Тогда 
где 
т.е. p(x) не зависит от x1. Положим 
Тогда 
, где 
Следовательно, 
и можно считать, что C-1 - матрица перехода к некоторому новому базису, в котором вектор 
имеет вид 
По индукции $ невырожденная замена переменных 
такая, что 
Положим 
Тогда 
где 
и 
- координаты в некотором базисе, т.к. Y = DX, и 
(2) Предположим, что 
Пусть 
. Сделаем замену 
Тогда 
и 
где в 
нет 
Далее как в п. (1).
(3) Все 
ð
8. Вещественные квадратичные формы
Пусть V – пространство над 
- квадратичная форма на V. Тогда в V существует базис, в котором q(x) имеет нормальный вид 
где 
- не зависит от выбора базиса.
Теорема. (закон инерции) Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса (т.е. s и r-s всегда одни и те же).
Пусть 
(в базисе 
) 
(в базисе 
). Предположим, что t < s. Обозначим 
Тогда 
Пусть 
Т.к. 
то 
где 
Аналогично, q(a) £ 0 т.к. 
Противоречие. Следовательно, t не может быть меньше s и наоборот. ð
Опр. Если 
то s – положительный индекс инерции, а число (r – s) – отрицательный индекс инерции q.
Опр. Квадратичные формы p(x) и q(x) эквивалентны, если существует невырожденная матрица A, такая, что 
, где P и Q – матрицы p и q.
Следствие. Формы p(x) и q(x) эквивалентны Û 
положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.
ð 1) Ü Приведем к нормальному виду.
2) Þ аналогично. ð
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Квадратичные формы | | | Теорема Якоби. |