Теорема Якоби.

Date: 2015-10-07; view: 488.

Пусть - матрица квадратичной формы f. Главные миноры .

Лемма. Ядро невырожденной симметрической БФ равно нулю.

ð Пусть весь вектор матрица f в . Тогда где Но если Z – вектор-столбец, для которого то Z = 0. Следовательно, Но ð

Теорема (Якоби). Пусть q – вещественная квадратичная форма с матрицей F, и Тогда $ базис V, в котором q имеет вид где

Индукция по n.

1) Положим Тогда

2) n > 1. Обозначим Пусть f на U имеет матрицу По предположению индукции $ базис в котором

Рассмотрим базис пространства V. Пусть Тогда - система из (n-1) линейных уравнений с n неизвестными Þ $ ненулевое решение Если то Но - ограничение f на U – невырожденная БФ, а - невырожденная квадратичная форма Þ (по лемме) на U. Условие u – решение системы означает, что -противоречие. Следовательно, Это значит, что -базис V, в котором f имеет матрицу причем

Пусть C – матрица перехода ® тогда где Отсюда Но Положим Тогда и ð