Канонический вид кососимметричной БФ

Date: 2015-10-07; view: 426.

Пусть - кососимметричная БФ на V и

Замечание. Кососимметричная (или симметричная) БФ f невырождена (для фиксированного ).

Лемма.Пусть Тогда для любого подпространства такого, что ограничение f на невырождено.

Если для некоторого то (т.к. где .

Т.к. ð

05.03.05

Теорема. Пусть – векторное пространство с невырожденной кососимметричной формой (билинейной). Тогда и существует разложение где , при . Кроме того, ограничение на имеет в некотором базисе матрицу .

Проведем индукцию по . - это противоречит невырожденности. Пусть .

Берем произвольный из . Тогда и т.к. то такой что . При этом и линейно независимы. Можно выбрать так, что и для все доказано.

Пусть теперь . Выберем любой из . Т.к. то такой что и , линейно независимы.

Обозначим . Дополним до базиса : . Рассмотрим . Тогда – подпространство, более того – пространство решений однородной системы линейных уравнений:

Где – матрица в базисе

Т.к. невырождена, то строки линейно независимы ранг системы равен 2. Поэтому и . Если ограничение на пространство имеет ненулевое ядро , то , что противоречит невырожденности, а это значит, что ограничение на – невырожденная кососимметричная билинейная функция

По индукции и все имеют требуемые базисы

Следствие. Для любой кососимметрической билинейной формы на пространстве существует базис, в котором она имеет матрицу

Где количество блоков равно половине ранга .