Расстояние от точки до плоскости.

Date: 2015-10-07; view: 394.

Пусть - евклидово пространство, , и - точки из . Прямую, проходящую через и будем обозначать как . Пусть - плоскость размерности в , и .

Опр. Прямая перпендикулярна плоскости , если , т.е. .

Предложение. Если , , и , то

. Из следует . .

Пусть теперь , -подпространство в , , - базис ,

- базис .

Теорема. Из точки можно опустить перпендикуляр к , . Его длина есть кратчайшее расстояние от до . Точка находится из условия ,

(*) где , а

где , а - определитель Грама.

Тогда . Положим , . Поскольку , то ,т.е. .

Вычислим координаты в базисе .

Тогда Отсюда

Получаем систему уравнений

Ее определитель, это - определитель Грама. Не равен нулю, т.к. вектора линейно независимы. По правилу Крамера система имеет единственное решение задаваемое (*).