Расстояние между плоскостями.

Date: 2015-10-07; view: 388.

Пусть и - две плоскости в евклидовом пространстве

Опр. Отрезок - общий перпендикуляр к и , если и .

Лемма 1.Любые две плоскости имеют общий перпендикуляр.

Пусть , . Будем искать точки ,

такие что и . Т.к. , то . Разложим V в сумму . Тогда . Тогда и определены однозначно, причем . Отсюда . Если взять , то . Т.е. поэтому - общий перпендикуляр к и .

Лемма 2. Если отрезок - общий перпендикуляр к и , то .

Пусть , , . Тогда , . Отсюда . . Т.к. - общий перпендикуляр к и , то . Следовательно

Теорема. Для любых двух плоскостей и в найдутся такие точки , что выполнено и отр. - общий перпендикуляр к и , он определен однозначно . ( u - направляющие плоскости и ).

Существование доказано в Лемме 1 и Лемме 2. Пусть и - два перпендикуляра.

Тогда , так что , . Как и в Лемме2 (*). Поскольку и два перпендикуляра, то . Следовательно . Таким образом при общий перпендикуляр только один. Если же , то , то и - общий перпендикуляр.

2.04.05