Аффинная группа

Date: 2015-10-07; view: 522.

Определитель Грама и объем параллелепипеда.

Пусть E – евклидово аффинное пространство,

V – ассоциированное с ним векторное евклидово пространство

, , - ортонормированный базис

Опр. Параллелепипед в E, заданный точками

Объем зададим так:

Теорема.

Заметим, что , ;

Итак, .

Пусть (A,V) – n-мерное аффинное пространство, и -биективное аффинно-линейное отображение, то есть . Обозначим . Так как f-биективное, то .

Покажем, что - тоже аффинное-линейное. Для этого покажем, что

Так как , то . Но , . То есть - аффинно-линейное.

Есть тождественное отображение . Оно аффинно-линейное, его дифференциал

Так как умножение ассоциативно, то можно взять все биективные аффинно-линейные отображения A в себя (операция композиции), получим группу.

Осталось проверить только, что композиция задана корректно.

Теорема. Совокупность всех аффинных биективных преобразований (т.е. аффинно-линейное отображение ) образует группу.

Не доказано только, что если f и g – аффинно-линейные, то и fg- тоже аффинно-линейное.

Пусть . Тогда , то есть -аффинно-линейное с дифференциалом .

Самые простые преобразования – параллельные переносы и сдвиг.

Опр. Отображение , называют сдвигом на в A, где .

Если , то есть -аффинно-линейное отображение . Оно биективно, значит - аффинное преобразование.

Ясно, что . - абелева подгруппа в . G- группа, f- ее подгруппа.

Опр. (H - нормальная подгруппа в G), если она выдержанно сопряжена любым групповым элементам, т.е. .

-группа всех невырожденных матриц над полем K.

Теорема (о структуре аффинной группы).

1) Подгруппа сдвигов T – нормальная в , и равна ядру гомоморфизма , где .

2) Аффинное преобразование, оставляющее неподвижной некоторую точку , образующую подгруппу, изоморфную .