Доказательство.

Date: 2015-10-07; view: 455.

1) Мы уже доказали, что

Это и означает, что гомоморфизм групп ,

Гомоморфизм сюръективен.

Пусть теперь . Тогда .

Докажем, что этим свойством обладает только сдвиг.

Заметим, сначала, что если , , то , .

Поэтому .

Вектор не зависит от , так как если , то .

Обозначим . Тогда , то есть . В ядре, кроме сдвигов, ничего нет.

2) Очевидно, что -подгруппа в A_n. Так как

не содержит сдвигов, то ограничение D на H инъективный гомоморфизм . Покажем теперь его сюръективность. Построим нужное аффинное преобразование. Пусть , где F произвольный невырожденный оператор на V.

Тогда если , то , то есть f-аффинное преобразование, причем и .

Следовательно, -изоморфизм групп.

Теорема. Любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции , где .

Возьмем , положим . Тогда g-аффинно-линейное преобразование. . Очевидно, .