Интерпретация тензоров малых рангов.

Date: 2015-10-07; view: 423.

Основные понятия.

ТЕНЗОРЫ

Пусть - произвольное поле, - векторное пространство над , . Обозначим через дуальное пространство, т.е. пространство линейных функций . - неотрицательные целые числа. Для каждой такой пары определим следующее понятие:

Определение: Тензором на типа называют любое полилинейное отображение

.

Т.е. - функция от аргументов, первые из которых из пространства , следующие - из пространства , линейная по каждому из аргументов со значениями в поле .

Определение: Число называют валентностью (реже рангом) . Сам называют смешанным тензором раз ковариантным, раз контрвариантным.

Тензор типа - это любой скаляр из поля .

Тензор типа - это линейная форма, т.е. любой элемент из .

Тензор типа - это линейный функционал . Т.е. любой элемент из . Отождествляя канонически и , мы говорим, что контрвариантный тензор типа есть вектор из . Если , то . Мы будем использовать запись и для значения на , и для значения на .

Смешанный тензор типа .

Пусть - фиксированный вектор из пространства . Тогда - линейный функционал на , т.е. элемент . Т.е. - вектор из . Обозначим этот вектор . Тогда выполняется соотношение (1) где - некоторое отображение.

Т.к. , то .

Поскольку - любой элемент , то это равенство влечёт:

. Т.е. .

Обратно: если - произвольный оператор, формула (1) сопоставляет ему тензор типа .

Таким образом, мы построили биекцию между тензорами типа и линейными операторами из .