Связь с определителями

Date: 2015-10-07; view: 416.

Базис внешней алгебры.

Пусть . Тогда . Тогда .

Следствие.

Для проверено. Далее по индукции:

30.04.05

Теорема. Пусть - векторное пространство над полем и . Тогда векторы линейно независимы в том и только в том случае, если .

Пусть сначала линейно зависимы. Обозначим через их линейную оболочку. Тогда . Из следствия (см. предыдущую лекцию) получаем что , а с другой стороны . Следовательно .

Пусть теперь линейно независимы. Тогда в существует базис , такой, что . В этом случае - один из базисных элементов (см. теорему из предыдущей лекции) алгебры . Поэтому .

Замечание. . Если - произвольный элемент , то не всегда .

Пусть теперь , - базис , и . Их внешнее произведение можно явно выразить через произведения . Пусть - координаты вектора в базисе , т.е. . Введём обозначение:

В матрице, столбцы которой – координаты векторов , вычеркнуты все строки, кроме .

Теорема.Пусть - базис , и , - любые векторов в . Тогда

.

Рассмотрим в этой сумме ту часть слагаемых, у которых множество одно и то же. Слагаемые этой суммы отличаются только порядком следования этих индексов, т.е. эта часть суммы равна . При этом произведение равно , где знак подстановки , а сами можно считать упорядоченными: . Поэтому .

Вспомним формулу для определителя . Отсюда следует, что . Это означает, что множитель перед равен .

7 мая 2005