Решение типовых задач раздела

Date: 2015-10-07; view: 443.

I. Найти линейные комбинации заданных матриц:

1) , где , .

Решение.

2) , где .

Решение.

II. Найти произведение матриц и , если это возможно:

1) , .

Решение.

III. Найти значение матричного многочлена , если:

1) , .

Решение.

,

,

IV. Транспонировать матрицу:

1) .

Решение.

V. Вычислить определитель:

1) .

Решение.

.

2) .

Решение.

.

3) .

Решение.

4) .

Решение.

.

VI. Найти ранг матрицы:

1) .

Решение.

Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

, значит, ранг равен .

VII. Найти обратную матрицу:

1) .

Решение.

Вычислим определитель матрицы А.

,

определитель матрицы А не равен 0, следовательно, матрица А имеет обратную .

Найдём транспонированную матрицу .

.

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .

Составляем обратную матрицу:

VIII. Исследовать системы линейных уравнений, для совместных систем найти общее и одно частное решение:

1)

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: , значит, система совместна. Количество неизвестных также равно 2: , значит система определена, то есть имеет единственное решение. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Получаем, , .

2)

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: , значит, система совместна. Количество неизвестных не равно 2: , значит, система неопределенна, то есть имеет бесконечно много решение. Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно . Выберем какой – нибудь, не равный 0, минор второго порядка полученной матрицы, например, минор . Тогда и - главные переменные, - свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Получаем, , .

IX. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:

1)

Решение.

Решим систему методом обратной матрицы.

Введём матрицы: , , , тогда систему можно записать в матричном виде , откуда .

Найдём определитель матрицы А:

значит, матрица А имеет обратную . Для нахождения присоединенной матрицы вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам.

Тогда присоединённая матрица .

Обратная матрица . Найдём решение :

Решим систему методом Крамера.

Найдём главный определитель системы :

следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

Найдём вспомогательные определители:

.

Найдём решение системы, используя формулы Крамера:

, , , .

X. Решить систему методом Жордана – Гаусса:

1)

Решение.

Запишем коэффициенты и свободные члены в таблицу.

1		-3
	-2		-1	-6
	-3

Выбираем разрешающий элемент. Перепишем без изменений строку, содержащую этот элемент, а все элементы искомого столбца, кроме разрешающего элемента, заменяем нулями. Остальные элементы пересчитываем:

		-3
	-3		-3	-12
	-5		-4	-6

Снова выбираем разрешающий элемент, игнорируя первый столбец и первую строку:

		-4	-1	-10

Выбираем разрешающий элемент в четвёртой или второй строке:

		-4	-1	-10
			-2	-4

Ответ: .

XI. Заданы векторы , , . Найти:

а) координаты вектора ;

б) координаты вектора ;

в) разложение вектора по базису .

Решение.

а) Так как , то найдем сначала длину вектора по формуле , . Тогда

.

б) Вычислим координаты вектора

, .

в) .

XII. Найти длину и направляющие косинусы век­тора , если , , .

Решение.

Найдем разложение вектора по базису , , :

.

Найдем длину вектора : . Тогда орт вектора - вектор .

Известно, что координаты орта вектора есть его направляющие косинусы. Следовательно, , , .

XIII. Определить, при каких значениях , векто­ры и коллинеарны.

Решение.

Из условия коллинеарности двух векторов следуют равенства:

. Тогда , , , .

XIV. Даны векторы , . Най­ти .

Решение.

Так как ,

.

XV. Дано: , , . Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) ;

б)

в)

XVI. В плоскости найти вектор , перпенди­кулярный и имеющий одинаковую с ним длину.

Решение.

.

Возьмем и вычислим скалярное произве­дение (по условию), или . Кроме того, .

Получаем систему уравнений:

, , .

, , .

Ответ: , .

XVII. Векторы и образуют угол . Зная, что и , вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) .

2)

3)