XVIII. Найти собственные значения и собственные вектора матрицы

Date: 2015-10-07; view: 524.

.

Решение.

Составляем характеристическое уравнение:

Вычислим определитель разложением по первой строке:

, , - собственные значения матрицы.

Найдём собственный вектор , соответствующий собственному значению .

или

То есть

Решим данную систему.

Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Поменяем первую и вторую строки местами:

.

Имеем: , , .

Отсюда получаем собственный вектор матрицы .

Найдём собственный вектор , соответствующий собственному значению .

или

То есть

Решим данную систему.

Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Поменяем первую и вторую строки местами:

Имеем: , , .

Отсюда получаем собственный вектор матрицы .

Найдём собственный вектор , соответствующий собственному значению .

или

То есть

Решим данную систему.

Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

.Имеем: , , .

Отсюда получаем собственный вектор матрицы .

XIX. Найти линейное преобразование неизвестных, приводящих квадратичные формы, заданные своими матрицами к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределённой: .

Решение.

Имеем

Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

Таким образом, невырожденное линейное преобразование , , приводит данную квадратичную форму к каноническому виду .

Найдём все главные угловые миноры матрицы: , , . Квадратичная форма не является знакоопределённой по критерию Сильвестра (она была бы отрицательно определённой, если бы , ).