Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Свободные неизвестные. Базисные решения.

Date: 2015-10-07; view: 406.

Рассмотрим однородную линейную систему

Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение называемое тривиальным.

Пусть ранг матрицы системы r<n. Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся m – r уравнений являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих. Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений:

Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных выражающее их через остальные неизвестные ( ), которым можно придавать любые произвольные значения. Таким образом, система при r<n является неопределенной.

Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные ( ) –свободными неизвестными.

Решения системы называются линейно независимыми, если линейная комбинация дает нулевой столбец только при