Студопедия
rus | ua | other

Home Random lecture






Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.


Date: 2015-10-07; view: 404.


Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Введем следующие обозначения:

xi - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);

xij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);

yi - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то

xi = (xi1 + xi2+ ... + xin) + yi , (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

aij = xij / xj , (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

xij = aijxj , (i,j = 1,2,...,n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса примут вид:

xi = (ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn) + yi , (i = 1,2,...,n),

Обозначим

, , ,

где

X- вектор валового выпуска;

A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);

Y - вектор конечного продукта.

Тогда соотношения баланса можно записать в виде:

X = AX + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат Aобеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем матричное уравнение в виде:

(E - A) X = Y.

Если матрица (E - A)невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:

X = (E - A)-1 Y.

Матрица S = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (sij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

, , …, .

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:

, , …, .

Следовательно, каждый элемент sij матрицы Sесть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.

Матрица Аназывается продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

 


<== previous lecture | next lecture ==>
Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Свободные неизвестные. Базисные решения. | Линейное пространство.
lektsiopedia.org - 2013 год. | Page generation: 0.95 s.