Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Date: 2015-10-07; view: 385.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = |a||b| cosφ .

Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .

Свойства скалярного произведения:

1. ab = |a| пр_аb.

Доказательство. По свойству проекции пр_аb = |b| cosφ, следовательно, ab = |a| пр_аb.

2. ab = 0 a b.

3. ab = ba .

4. (ka)b = k(ab).

5. (a + b)c = ac + bc .

6. a² = aa = |a|² , где а² называется скалярным квадратом вектора а.

7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂},

то ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂.

Доказательство. Используя формулу, получим:

ab = (X₁i + Y₁j + Z₁k)(X₂i + Y₂j + Z₂k) .

Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:

ab = X₁X₂ii +Y₁Y₂jj + Z₁Z₂kk + X₁Y₂ij +X₁Z₂ik + Y₁X₂ji + Y₁Z₂jk + Z₁X₂ki + Z₁Y₂kj.

Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому

ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ .

Угол между векторами:

cosφ = .