Линейные преобразования. Свойства.

Date: 2015-10-07; view: 404.

Ортонормированный базис. Евклидово пространство.

Если векторы e_1, e₂, e₃ попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x₁, x₂, x₃ - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x_i вектора xв ортонормированном базисе вычисляются по формулам x_i =(x, e_i),i = 1, 2, ..., n.

Евклидово пространство (также Эвклидово пространство) — в изначальном смысле, пространство свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

Ортогональные операторы

Линейный оператор называется ортогональным, если

Для того чтобы оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональной.

Ортогональные операторы и только они сохраняют длину вектора, т. е.

Сопряженные операторы

Оператор называется сопряженным линейному оператору , если

Оператор также является линейным оператором. Если f в некотором ортогональном базисе имеет матрицу A, то в этом базисе оператор имеет матрицу .

Свойства сопряженных операторов: (f - невырожденный).

Самосопряженные операторы

Линейный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если

Для самосопряженного оператора

Оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в некотором ортонормированном базисе симметрическая.

Свойства самосопряженных операторов: 1) самосопряженный оператор имеет только действительные собственные числа; 2) всякий самосопряженный оператор является оператором простой структуры; 3) для всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

23. Нахождение матрицы линейного преобразования.

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A = a₁₁ + a₂₁ +…+ a_n1

A = a₁₂ + a₂₂ +…+ a_n2

……………………………….

A = a_n1 + a_n2 +…+ a_nn

Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор , то A Î L.

, где

……………………………..

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .

В матричном виде:

, А× ,