Дальнейшие примеры

Date: 2015-10-07; view: 453.

Пример. Найти точку Q, которая симметрична точке относите-льно прямой, проходящей через две данные точки (рис. 12).

Fig. 12

Fig. 13

Fig. 14

Найти расстояние точки от прямой AB.

1. Составляем уравнение прямой AB (на основании формулы (14))

.

2. Составим уравнение прямой PQ, которая перпендикулярна прямой AB и проходим через точку . На основании условия перпендикулярности прямых

.

Теперь на основании уравнения (12) получаем

.

3. Находим точку M пересечения прямых PQ и AB. Решая соответствующую систему уравнений

получаем .

4. Для нахождения искомой точки Q примем во внимание, что найденная точка является серединой отрезка PQ, а следовательно

.

Таким образом, мы нашли искомую точку .

5. Для нахождения расстояния точки от прямой AB достаточно найти расстояние между точками и ,

Пример. Даны вершины треугольника ABC (см. рис. 13). Составьте самостоятельно уравнения его высоты BD, медианы CE и биссектрисы BF. Составить далее уравнение окружности, описанной около треугольника.

Пусть точка является центром описанной окружности. Это значит, что

Мы получили систему уравнений относительно координат точки . Возводя в квадрат и приводя подобные члены, сводим систему к системе линейных уравнений

.

Квадрат радиуса окружности равен

,

Откуда получаем приближенное уравнение описанной окружности

.

Пример. Даны две вершины и точка пересечения высот треугольника ABC (рис. 14). Найти координаты вершины C.

Решение.

1. Имея точки , по формуле (15) находим угловой коэффициент высоты AK:

2. Используя условие перпендикулярности прямых , находим угловой коэффициент стороны BC,

3. С помощью уравнения (12) составляем уравнение прямой BC:

4. Таким же путем составляем уравнение прямой AC:

5. Находим точку C пересечения прямых BC, AC , решая систему урав-нений этих прямых.

Замечание.Расстояние точки от прямой l, заданной общим уравнением

,