Гипербола

Date: 2015-10-07; view: 614.

Эллипс

Определение.Эллипсом называется плоская кри-вая, обладающая следующим свойством: сумма расстоя-ний любой ее точки от двух данных точек (так называемых фокусов) является постоянной величи-
Рис. 1 ной.

Предположим, что расстояние между фокусами (фокусное расстояние) эллипса равно , а сами фокусы расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат,

Если положить, что

(см. рис. 1; очевидно, что ), то после некоторых преобразований мы полу-чим следующее уравнение эллипса (так называемое каноническое уравнение эллипса)

, ( 4 )

где - положительное число, определяемое из соотношения

. ( 5 )

Очевидно, что .

Эллипс симметричен относительно коор-динатных осей и, следовательно, относительно на-чала координат. Он пересекает координатные оси в точках

Рис. 2 которые называются его вершинами(см. рис. 2).

Число a называется большой полуосью, а число b – малой полуосью эл-липса.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

. ( 6 )

Очевидно,

Если (при фиксированном a) , то есть если эллипс приближается по форме к окружности, то . Если же , то есть эллипс сжимается к от-резку AC, то . Таким образом, эксцентриситет эллипса является мерой его сплющенности.

Замечание.Уравнение (4) определяет эллипс не только при условии , но и при противоположном условии . Достаточно положить

и заменить формулы (5), (6) следующими:

, ( 7 )

. ( 8 )

Для случая большой полуосью эллипса является число , малой – число , а фокусы располагаются на оси ординат.

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через две данные точки .

Точки должны удовлетворять уравнение (4), поэ-тому

Искомое уравнение эллипса

Пример. Доказать, что уравнение явля-ется уравнением эллипса. Изобразить его в плоскости xOy, найти его фокус, вершины и эксцентриситет.

Разделив обе части уравнения на 36, получаем
Рис. 3 ,

то есть уравнение эллипса с полуосями . Большая полуось эллипса здесь , малая - . По формуле (7) , , и фокусы эллипса лежат на оси Oy (рис. 3). На основании формулы (8) эксцентриситет эллипса равен

Определение.Гиперболой называется плоская кривая, обладающая сле-дующим свойством: разность расстояний любой ее точки от двух дан- ных точек (так называемых фокусов) является постоянной величиной.
Как и в случае эллипса, обозначим фокусное расстояние , и расположим фокусы таким же точно образом, .

Полагая на основании определения гиперболы
Рис. 4
(рис. 4, где теперь ), получаем уравнение - каноническое уравнение ги-перболы

, ( 9 )

где число определяется по формуле

. ( 10 )

Гипербола симметрична относительно ко-ординатных осей и начала координат. Она пере-секает ось в двух точках , , то есть обладает только двумя вершинами. С осью
Рис. 5 Oy гипербола не пересекается и, следовательно, состоит из двух ветвей (рис. 5).

Число a называется вещественной полуосью, а b – мнимой полуосью гиперболы.

Прямые образуют так называемый основной прямоугольник гиперболы, диагонали которого, то есть прямые

, ( 11 ) называются асимптотами гиперболы. Смысл этого термина состоит в следую-щем. Если точка гиперболы уходит в бесконечность, она неограниченно приб-лижается к одной из асимптот.

■Пусть, например, точка находится в первой четверти и уходит в бесконечность. Выразив y через x с помощью уравнения (9),

мы убеждаемся в том, что при разность

стремится к нулю. А это значит, что точка неограниченно приближае-тся к асимптоте

■

Определение. Эксцентриситет гиперболы определяется аналогичной формулой, что и для эллипса, а именно:

( 12 )

причем, в отличие от эллипса, .

Для построения гиперболы следует сначала построить ее основной пря-моугольник и асимптоты, а затем уже заняться непосредственно самой кривой.

Замечание. Кривая, заданная уравнением

, ( 13 )

также является гиперболой (см. пунктирную линию на рис. 5). Она называется сопряженной гиперболойдля гиперболы, заданной уравнением (9). Основной прямоугольник и асимптоты обеих гипербол совпадают, но числа a и b меняют-ся ролями: для сопряженной гиперболы b является вещественной, а a – мнимой полуосями. Эксцентриситет сопряженной гиперболы дается формулой