Разложение вектора по базису

Date: 2015-10-07; view: 684.

Как известно, базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов (соотв. упорядоченная тройка некомпланарных векторов), приведенных к общему началу.

Теорема 1.Любой вектор на плоскости (соотв. в пространстве) может быть единственным способом разложен по базису.

Пусть, например,

( 2 )

- базис в пространстве. Теорема означает, что для любого пространственного вектора существует единственная тройка чисел (координат вектора в данном базисе) такая, что имеет место следующее разложение

. ( 3 )

Из теоремы 1 вытекает, что два вектора равны тогда и только тогда, если они имеют одинаковые координаты.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Пример. Найти значения параметров m и n, при которых два данных вектора коллинеарны.

Из условия пропорциональности соответствующих координат коллинеарных векторов имеем

.

Ответ: векторы коллинеарны при .

Теорема 2.Линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над их координатами.

Например, произведением вектора на число (скаляр) является вектор

,

то есть вектор с координатами . Суммой векторов

является вектор

с координатами .

На основании теоремы 2 мы можем отождествлять любой вектор со строкой его координат в данном базисе и писать, например,

.

Вместо фигурных скобок часто используются круглые. Координаты векторов можно разделять и запятыми, если это не приводит к недоразумениям.

Пример. Найти вектор , если известны векторы

.

На основании теоремы 2 имеем

.

Базис (2) определяет систему координат в пространстве. Началом координат является общее начало О базисных векторов, координатные оси направлены вдоль векторов , единица масштаба на каждой оси равна модулю (длине) соответствующего базисного вектора.

Для любой точки пространства вектор называется радиус-вектором этой точки, причем координаты радиус-вектора совпадают с координатами этой точки,

, или просто . ( 4 )

Пример. Найти вектор, зная координаты его начала А и конца В.

Пусть, например, . Тогда вектор равен разности радиус-векторов точек А, В,

,

и по теореме 2

( 5 )

Таким образом, координатами вектора являются разности соответствующих координат его конца и начала.

Например, .

Пример. Разложить вектор по векторам . Могут ли векторы образовывать базис в пространстве?

Мы должны найти такие три числа , чтобы выполнялось равенство

.

Но

Приравнивая соответствующие координаты векторов и , получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно

Главный определитель системы отличен от нуля,

,

следовательно, она имеет единственное решение. Вспомогательные определители системы равны

,

откуда на основании правила Крамера

,

и искомое разложение вектора есть

.

Анализ решения показывает, что по векторам может быть разложен любой другой пространственный вектор, так как решение соответствующей задачи приводит к системе уравнений с той же левой частью и тем же самым главным определителем, что и в только что решенном примере, и с правыми частями - координатами названного вектора. Следовательно, векторы могут образовывать базис в пространстве, и только что найденные числа являются координатами вектора в этом базисе.

В общем случае мы можем сказать, что три пространственных вектора

( 6 )

могут образовывать базис в пространстве тогда и только тогда, если определитель третьего порядка, образованный координатами векторов, отличен он нуля,

. ( 7 )

Равенство (7) является также необходимым и достаточным условием некомпланарности трех пространственных векторов (6).

Пример. Могут ли образовывать базис в пространстве три данных вектора

?

Решение. Определитель, составленный из координат векторов,

,

равен нулю. Следовательно, векторы не являются некомпланарными и не могут образовывать базис в пространстве.