Декартов ортонормированный базис

Date: 2015-10-07; view: 612.

В приложениях наиболее часто используется так называемый декартов ортонормированный базис. В пространстве - это тройка единичных (или нормированных) взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов, обычно обозначаемых , а в плоскости - аналогичная пара векторов . Система координат, определяемая декартовым ортонормированным базисом, называется декартовой прямоугольной.

Координаты вектора, разложенного по декартовому ортонормированному базису, представляют собой проекции этого вектора на соответствующие координатные оси и соответствующим образом обозначаются. Так, если для пространственного вектора имеем следующее разложение по :

, ( 8 )

то

.

Используя формулу (1) для нахождения проекции вектора на ось, имеем

, ( 9 )

где - углы, образованные вектором соответственно с осями .

В частности, , а поэтому . Аналогично .

Из формул (9) следует, что если вектор образует с какой-либо осью острый (тупой) угол, то соответствующая координата вектора положительна (соответственно отрицательна).

Например, вектор образует с осью тупой угол, а с осями - острые углы.

Длина (модуль) вектора, заданного в декартовом ортонормированном базисе, равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. Именно,

( 10 )

для вектора (8), заданного в базисе , и

для вектора, заданного в базисе .

Косинусы углов , образованных вектором (8) с координатными
осями, называются направляющими. На основании формулы (9) они равны

. ( 11 )

Из формул (11) и (10) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице,

, ( 12 )

а поэтому орт вектора (8) определяется следующей формулой:

. ( 13 )

В свою очередь вектор может быть представлен с помощью своих длины и орта, а именно:

( 14 )

Пример. Найти расстояние между точками .

Достаточно найти длину вектора :

. (15)

Пример. Вектор задан в декартовом ортонормированном базисе своим началом и концом . Найти вектор, его длину, орт, направляющие косинусы, расстояние между точками A и B. Затем найти вектор , имеющий длину 12 и направленный противоположно вектору , а также вектор длины 20, сонаправленный с вектором .

По формуле (5)

Пользуясь теперь формулами (10), (15), (11), (13), (14), последовательно получаем

,

,

,

.