Скалярное произведение двух векторов

Date: 2015-10-07; view: 464.

Как известно, скалярным произведением двух векторов называется чи-сло, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними, то есть (см. рис. 3)

. ( 16 )

Пример. Скалярное произведение векторов ,
Рис. 3 имеющих длины и образующих угол , равно

Скалярное произведение равно произведению длины одного вектора на проекцию другого на первый (или, точнее, на ось, определяемую первым вектором),

, ( 17 )

где a, b – оси, определенные векторами соответственно. Формула (17) следует из определения (16) и формулы (1) для нахождения проекции вектора на ось.

Пример. Проекции каждого из векторов предыдущего примера на ось другого на основании формулы (17) соответственно равны

.

Необходимо хорошо знать свойства скалярного произведения: 1) перестановочность ( ), 2) сочетательность относительно скалярного (в том числе числового) множителя ( ), 3) распределительность относительно векторных сомножителей ( ). Особо отметим два следующих свойства:

4) , ( 18 )

то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины;

5) Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, если их скалярное произведение равно нулю.

Пример. Скалярные произведения векторов декартового ортонормированного базиса равны нулю,

,

так как .

Пример. Длины векторов равны , угол между ними . Найти длину вектора .

На основании свойств скалярного произведения, в том числе формулы (18),

Если векторы заданы в декартовом ортонормированном базисе , то их скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть если

,

или просто

,

то

. ( 19 )

Пример. Является ли прямоугольным треугольник с данными вершинами ? Найти его внутренний и внешний углы при вершине A (рис. 4).

Стороны треугольника ABC равны

,

Рис. 4 причем . Поэтому треугольник не является прямоугольным. Для нахождения упомянутых углов введем векторы

.

Используя формулы (16) и (19), мы получаем

Пример. Найти вектор , удовлетворяющий условиям

,

где - данные векторы.

Пусть искомый вектор имеет координаты , то есть . Тогда

и решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений относительно ,

Эта последняя была решена в первой части настоящего пособия, а именно:

.

Ответ: Искомый вектор .