Векторное произведение двух векторов
Date: 2015-10-07; view: 444.
 Fig. 2
|  Fig. 3
|
Упорядоченная тройка векторов 
с общим началом называется правой, если поворот от первого вектора ко второму по кратчайшему пути виден из конца третьего векто-
Рис. 5 Рис. 6 ра происходящим против часовой стрелки (см. рис. 5).
Направление третьего вектора правой тройки можно определить по правилу правой руки, если считать большой, указательный и средний ее пальцы соответственно первым, вторым и третьим векторами.
В дальнейшем мы будем рассматривать только правый декартовый ортонормированный базис 
и соответствующую правую декартову прямоуголь-ную систему координат (рис. 6). Очевидно, что для правого базиса упорядоченные тройки векторов 
и 
также являются правыми.
Векторным произведением 
векторов 
и 
называется вектор: а) перпендикулярный векторам и ;
б) имеющий длину (модуль), равный произведению длин векторов и на синус угла между ними;
в) образующий с векторами и правую тройку
Рис. 7 векторов, а именно , , 
.
Пример. Векторные произведения векторов правого декартового ортонормированного базиса (см. cхему на рис. 7)
. ( 20 )
В самом деле, вектор 
перпендикулярен векторам 
, его длина действительно равна 
, а векторы обра-зуют правую тройку. Поэтому
.
Аналогично доказывается справедливость остальных векторных произведений формулы (20).
Длина (модуль) 
векторного произведения имеет простой геометрический смысл: она численно рав-на площади параллелограмма, построенного на векторах
Рис. 8 и как на сторонах (рис. 8),
. ( 21 )
Необходимо запомнить свойства векторного произведения: 1) антиперестановочность (
), 2) сочетательность относительно скалярного (в том числе числового) множителя 
, 3) распределительность относительно векторных сомножителей 
. Отметим еще одно свойство:
4) Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
Если векторы заданы в правом декартовом ортонормированном базисе 
, то есть если
,
или просто
,
то их векторное произведение выражается определителем третьего порядка, в первой строке которого находятся базисные векторы , во второй - координаты первого сомножителя, в третьей – координаты второго,
. ( 22 )
Разложив определитель третьего порядка по элементам первой строки, получим еще одно представление векторного произведения, именно:
,
где 
- алгебраические дополнения элементов первой строки определителя (22) и их выражения через миноры этих же элементов.
Пример. Найти площадь и высоту BK, проведен-ную из вершины B, треугольника с заданными верши-нами A(1; 3; 5), B(2; -4; 6), C(0; -2; 3) (рис. 9).
Пусть 
, 
. Пло-
Рис. 9 щадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, построенного на векторах 
как на сторонах. Последняя на основании формулы (21) равна
,
и поэтому
.
Для отыскания высоты BK примем во внимание известную из школы формулу площади треугольника. Именно,
По формуле (22)
Следовательно,
.
Пример. Найти вектор длины 14, если он перпендикулярен двум данным векторам 
и образует острый угол с осью Oz.
Искомый вектор 
, будучи перпендикулярным к векторам 
, коллине-арен их векторному произведению
,
или более простому вектору
.
Последний образует тупой угол с осью Oz (так его z-координата отрицатель-ная), поэтому орты векторов и 
должны быть противоположными, и
.
Окончательно получаем
.
Пример. Найти вектор , перпендикулярный двум векторам 
, если его проекция на вектор 
равна 
.
Аналогично предыдущему примеру искомый вектор должен быть коллинеарным векторному произведению
и поэтому должен иметь вид
,
где 
- некоторое неизвестное число. По условию (см. еще формулу (17))
,
следовательно
.
Смешанное произведение трех векторов[14]
Смешанным произведением 
трех векторов 
называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий.
Если векторы заданы в декартовом ортонормированном базисе 
, то есть если
,
то их смешанное произведение равно определителю третьего порядка, в первой строке которого находятся координаты первого вектора, во второй - координаты второго, в третьей – координаты третьего,
. ( 23 )
Пример. Смешанное произведение векторов
на основании формулы (23) равно
.
Из формулы (23) и свойств определителей вытекают два следующих соотношения, касающиеся возможности переставлять местами сомножители смешанного произведения:
На основании формулы (17) для скалярного произведения мы можем записать следующую формулу для смешанного произведения:
.
Из нее, в частности, вытекает
Геометрический смысл смешанного произведения.Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему 
параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах,
= 
. ( 24 )
Действительно, площадь основания и высота такого параллелепипеда соответственно равны
, 
,
откуда следует формула (24).
Условие компланарности трех векторов. Три ненулевых вектора 
компланарны тогда и только тогда, если их смешанное произведение равно нулю.
Пример. Векторы 
пре-дыдущего примера компланарны, так как их смешанное произве-дение равно нулю.
Пример. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
, 
Рис. 10 и длину ее высоты 
, опущенной из вершины 
(рис. 10).
Введем в рассмотрение векторы
.
Данная пирамида построена на них как на сторонах. Ее объем равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах как на сторонах. Следовательно, на основании формулы (24)
куб.единиц
Длину высоты находим, исходя из известной школьной формулы. Именно:
Так как
получаем
лин.единиц.
Вопросы для самопроверки по теме "Векторы"
1. Что такое вектор и его орт?
2. Дать определение равных векторов; противоположных векторов.
3. Какие векторы называются коллинеарными? компланарными?
4. Как можно определить сумму векторов? разность векторов? произведение вектора на число?
5. Что такое составляющая вектора вдоль оси? проекция вектора на ось?
6. По какой формуле можно найти проекцию вектора на ось?
7. Что такое базис на плоскости? в пространстве?
8. Что такое декартов ортонормированный базис?
9. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису.
10. Что такое координаты вектора в данном базисе? что представляют собой координаты вектора в декартовом ортонормированном базисе?
11. Какая существует связь между линейными операциями над векторами и операциями над их координатами?
12. Сформулировать необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов; (не)компланарности трех векторов.
13. Как найти координаты вектора, зная координаты его начала и конца?
14. Как найти длину, направляющие косинусы и орт вектора, заданного в декартовом ортонормированном базисе?
15. Перечислите основные способы задания векторов.
16. Дать определение скалярного произведения двух векторов.
17. Какая существует связь между скалярным произведением и проекцией вектора на ось?
18. Перечислите свойства скалярного произведения.
19. Как найти скалярное произведение векторов, заданных в декартовом ортонормированном базисе?
20. Как найти угол между двумя векторами с помощью скалярного произведения?
21. Как найти проекцию вектора на ось с помощью скалярного произведения?
22. Дать определение правой тройки векторов.
23. Дать определение векторного произведения двух векторов.
24. В чем состоит геометрический смысл модуля (длины) векторного произведения?
25. Перечислите свойства векторного произведения.
26. Как найти векторное произведение векторов, заданных в правом декартовом ортонормированном базисе?
27. Дать определение смешанного произведения трех векторов.
28. Как найти смешанное произведение векторов, заданных в декартовом ортонормированном базисе?
29. В чем состоит геометрический смысл смешанного произведения?
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Скалярное произведение двух векторов | | | УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ |