ПЛОСКОСТЬ

Date: 2015-10-07; view: 536.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно заданному вектору

Пусть плоскость (рис. 2) проходит через точку и перпендикулярна некоторому ненулевому вектору (так называемому нормальному векторуплоскости).

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Так как для произвольной точки плоскости векторы

перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю,

,

откуда следует уравнение плоскости

. ( 4 )

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум векторам .

Если мы предположим, что векторы имеют общее начало (рис. 3), то увидим, что нормальный вектор плоскости коллинеарен их векторному произведению,

,

и с помощью уравнения (4) получим

.

Замечание. Аналогичную задачу можно рассмотреть в плоскости xOy: составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному ненулевому вектору (номальному вектору) (рис. 4).

Аналогичные рассуждения приводят к следующему уравнению прямой:

. ( 5 )

Раскрывая скобки, мы получим уравнение вида

, ( 6 )

где то есть общее уравнение прямой

Если в уравнении (5) коэффициент , мы получаем уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей данный угловой коэффициент k (или уравнение пучка прямых с центром в точке )

. ( 7 )

Пример. Составить уравнение высоты, проведенной из вершины C треугольника ABC с задан-ными вершинами (рис. 5).

Нормальный вектор высоты , и на основании (5) имеем
Рис. 5 .