Уравнение плоскости в отрезках
Date: 2015-10-07; view: 634.
Пусть плоскость 
отсекает отрезки 
на координатных осях (см. рис. 7). Тогда ее уравнение может быть представлено в виде
.( 13 )
Пример. Вычислить объем треугольной пирамиды, ограниченной плоскостью
и координатными плоскостями (рис. 7).
Перепишем сначала уравнение плоскости в форме (13),
.
Плоскость отсекает на координатных осях отрезки 
(так что 
). Следовательно, искомый объем равен
кубических единиц..
Пример. Найти точки пересечения плоскости 
с координатными осями и линии ее пересечения с координатными плоскостями. изобразить плоскость.
a) Точки пересечения с координатными осями
| Точка пересечения с | Полагаем | Получаем |
| осью Ox | y = z = 0 | 
|
| осью Oy | x = z = 0 | 
|
| осью Oz | x = y = 0 | 
|
b) Линии пересечения с координатными плоскостями
| Линия пересечения с | Полагаем | Получаем |
| плоскостью xOy | z = 0 | 
|
| плоскостью xOz | y = 0 | 
|
| плоскостью yOz | z = 0 | 
|
Плоскость изображена на рис. 8
Расстояние от точки до плоскости
Пусть даны плоскость , заданная общим уравнением
,
и точка 
. Ее расстояние от плоскости дается
Рис. 9 формулой
. ( 14 )
В соответствии с формулой мы должны в уравнении плоскости заменить x, y, z координатами точки, найти абсо-лютную величину результата и разделить его на длину нор-мального вектора плоскости.
Пример. Найти уравнение сферы, центр которой находится в точке 
и которая касается пло-скости 
.
Радиус сферы равен расстоянию от точки до плоскости. По формуле (14) имеем
,
и на основании (2) получаем уравнение искомой сферы
.
Пример. Найти объем треугольной пирамиды с известными вершинами 
, 
(рис. 10).
Если 
- высота пирамиды, то ее объем
Рис. 10 равен
.
Но
где
,
а высота равна расстоянию точки 
от плоскости, проходящей через точки 
. Уравнение последней найдено выше,
,
откуда
.
Окончательно
кубических единиц.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки | | | Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности |