Задача о пересечении трех плоскостей

Date: 2015-10-07; view: 465.

Предположим, что мы ищем точки пересечения трех плоскостей, то есть мы изучаем систему уравнений этих плоскостей

( 19 )

Матрица системы и расширенная матрица суть

Случай 1. .

Главный определитель системы отличен от нуля, система имеет единственное решение, и все плоскости пересекаются в единственной точке.

Случай 2. .

Система (19) несовместна. На основании того, что , матрица A имеет по крайней мере один ненулевой минор второго порядка. В этом случае какие-то из двух плоскостей пересекаются, а третья плоскость параллельна линии их пересечения. Если, например,

,

имеем , нормальные векторы не коллинеарны, и пересекаются первые две плоскости.

Случай 3. . Система (19) имеет бесконечное множество решений, все плоскости имеют общую линия пересечения.

Случай 4. .

Система (19) не имеет решений. Все миноры второго порядка матрицы A равны нулю, следовательно, нормальные векторы плоскостей попарно коллинеарны, плоскости параллельны, но по крайней мере две из них не совпадают.

Случай 5. . Все три плоскости совпадают.