Определение ранга системы векторов и базиса линейного пространства.

Date: 2015-10-07; view: 389.

А)Размерность подпространства L( 1 2… s) векторов 1 2… s пространства V называется рангом системы векторов 1 2… s и обозначается rk( 1 2… s). Таким образом, ранг системы равен r, если среди векторов системы существуют r линейно независимых, а любые q>r векторов данной системы линейно зависимы. Ранг же линейно независимой системы равен числу ее членов.

Б)Система векторов ₁, ₂, ₃, называется базисом в Rі, если возможны следующие условия:

1) Эти векторы линейно независимы

2) Любой вектор Rі является линейной комбинацией векторов данной системы, т.е. =

Базис в Rі - это любая упорядоченная система из 3-х линейно независимых 3-мерных векторов.

1. Система линейно независимая, поскольку она линейная.

2. Рассмотрим =(х₁;х₂;х₃) = (х₁;0;0) + (0;х₂;0) + (0;0;х₃) = х₁(1;0;0) +х₂(0;1;0) + х₃(0;0;1) => - линейная комбинация e₁,e₂ и e₃ => {e₁;e₂;e₃} –базис в Rі.

Если система векторов такова, что только с₁ā₁+с₂ ā₂+…+с_s ā_s=0 выполняется, только если с₁=с₂=…=с_s, то эта система называется линейно независимой.

Дано: { Ō; ā₁; ā₂;…; ā_n}

Доказать: {Ō; ā₁; ā₂;…;ā} – линейно завис.

Доказательство:

1. {Ō} – л.з. по св-ву 1є линейной зав-ти.

2. (1)ó c0Ō+Оā1+Оā2+…+Оān = 0 c0 ≠ 0 из (1), значит {Ō; ā1; ā2;…,ān} – линейно зависима по определению, ч.т.д.

Пример: {Ō; ā₁; ā₂}, где ā₁ = (1;1;1), ā₂ = (2;2;2), с₀(0;0;0)+0(1;1;1) + 0(2;2;2) = 0