Определение ортогональной системы векторов.
Date: 2015-10-07; view: 379.
Система векторов в евклидовом пространстве называется ортогональной, если все векторы в ней попарно ортогональны.
Если ортогональная система векторов а1,а2,…,аs не содержит нулевого вектора, то она линейно независима. Действительно, подсистема, состоящая из вектора ā1 линейно независима. Если подсистема а1,а2,…,аs линейно независима, то, присоединяя к ней вектор āt+1 , получим линейно независимую систему. Таким образом мы получим линейную независимость всей системы.
Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
Определение 1. Система векторов 
называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.
Определение 1´. Система векторов 
называется линейно зависимой, если найдутся числа с1, с2, …, сk, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: 
= 
, в противном случае система называется линейно независимой.
Эти определения эквивалентны.
6. Дайте определение скалярного произведения в Rn.
Скалярным произведением двух векторов a=(a1 , a2 , ..., an ) и b=(b1, b2, ..., bn) называется число (a, b)=a1b1+a2b2+ ...+anbn.
Основные свойства скалярного произведения векторов:
1.( 
)=( 
).
2. (k 
)=k ( 
)
3. (a+ b, c)=(a, c)+ (b, c)
4. ( 
)> 0, если 
, и если ( 
)= 0, если 
cosj.=(a, b)/ |вектор а|*|вектор в|
Равенство справедливо при векторе а¹0 и векторе в¹0. Однако формула не совсем проста. Уравнение cosj = с, (где j - неизвестное число) имеет решение только при –1£c£1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала убедиться, что (a, b)/ |вектор а|*|вектор в| заключено между -1 и 1.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Определение ранга системы векторов и базиса линейного пространства. | | | Определение фундаментального набора решений системы уравнений. |