Критерий Сильвестра.

Date: 2015-10-07; view: 402.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0…

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу (a_ij). Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её угловые миноры Δ_i положительны, отрицательно определена, если и только если их знаки чередуются, причём Δ₁ < 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.

.

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

24. Как найти расстояние от точки до прямой в R² , от точки до плоскости в R³ , между2 параллельными прямыми в R².

Расстояние от точки до прямой в R² :

M=(m1;m2); l: Ax+By+C=0

r(M;l)=(|Am1+Bm2+C|)/ (A²+B²);

Расстояние от точки до плоскости в R³

M=(m1;m2;m3); a: Ax+By+Cz+D=0

r(M;a)=(|Am1+Bm2+Cm3+D|)/ (A²+B²+C²)

Расстояние между двумя параллельными прямыми в R².

l1: Ax+By+C1=0; l2: Ax+By+C2=0

r(l1;l2)=|(C2-C1)|/ (A²+B²)