Устойчивость САР и ее определение

Date: 2015-10-07; view: 495.

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в установившееся состояние после того, как она была выведена из этого состояния каким-либо возмущении.

Рисунок 1.24 - Примеры систем: а) устойчивой, б) неустойчивой, в) нейтрально-устойчивой

Поведение САР при изменении возмущения или управляющего воздействия могут быть описаны выражением

y=y₀+y(t) (1.27)

где y₀ - вынужденная составляющая выходной величины;

y(t)- переходная составляющая выходной величины, которая изменяется во времени.

Ради того, чтобы САР была устойчивой, необходимо чтобы с течением времени переходная составляющая выходной величины y(t) стремилась к нолю. Аналитическое выражение для y(t) может быть получено через дифференциальное уравнение, которое описывает свойства системы [смотри левую часть формулы (1.1)]. Характеристическое уравнение для (1.1) имеет вид

a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₁p+ a₀=0 . (1.28)

Характеристическое уравнение может быть также получено приравниваем нолю знаменателя передаточной функции.

Если определить все корни характеристического уравнения, то общее решение дифференциального уравнения, а значит и y(t) будут равны

y(t)=C₁e^p1t+C₂e^p2t+...+C_n-1e^pn-1t+e^pit(A₁+A₂t+A₃t²+...+A_it^i-1) (1.29)

где C₁ ,C₂,...,C_n-1 i A₁,A₂,...,A_i - постоянные интегрирования.

Из (1.29) видно, что САР будет устойчивой, если все реальные корни и реальные части комплексных корней характеристического уравнения будут отрицательные. При этом все составляющие (1.29) при увеличении времени будут приближаться к нолю.

Определить устойчивость САР через корни характеристического уравнения очень сложно, ведь это связано с решением дифференциального уравнения высокого порядка. Кроме того, такой способ определения устойчивости не позволяет получить рекомендаций по ее увеличению. Поэтому на практике, как обычно, используют косвенные методы вычисления устойчивости. При этом она определяется на основании определенных критериев, под которыми имеют в виду правила, посредством которых определяют, устойчива ли система.

Задача 3. Записать характеристическое уравнение для САР, которая имеет передаточную функцию.

Решение. Характеристическое уравнение получается приравниваем к нолю знаменателя передаточной функции. Поэтому оно равно

p³-3p²+6p+12=0 .