Критерий устойчивости Михайлова

Date: 2015-10-07; view: 570.

Если в характеристическом уравнении (1.28) поменять p на jw, то получим функцию переменного A(jw). В ней можно выделить реальную и мнимую части.

A(jw)=U_A(w)+jV_A(w) (1.30)

Если задаваться wот 0 до +¥ и откладывать на комплексной плоскости вектор с центром в начале координат и концом в пунктах U(w) и V(w), то получим характеристику, которую принято называть годографом Михайлова.

Линейная система n-га порядка будет устойчивая, если при изменении от wот 0 до ¥ годограф Михайлова последовательно обходит n квадрантов в комплексной плоскости навстречу часовой стрелки, начиная с пункта на реальной положительной полуоси и нигде не проходит через начало координат.

Рисунок 1.25 - Примеры годографов Михайлова: а - устойчивых систем, б - неустойчивых систем.

Задача 5. Определить посредством критерия Михайлова устойчивость системы, которая имеет передаточную функцию

Решение. Записываем для заданной системы характеристическое уравнение

3p²+2p+2=0

Для получения годографа Михайлова меняем в передаточной функции p на jw. Получим

A(jw)=3(jw)²+2jw+2=-3w²+2+j2w.

Записываем отдельно реальную U_A(w)и мнимую V_A(w)части выражения A(jw).

U_A(w)=-3w²+2

V_A(w)=2w.

Подставляем значения w от 0 до ¥.

U_A(0)=-3*0²+2=2

V_A(0)=2*0=0

U_A(0,5)=-3*0,5²+2=1,25

V_A(0,5)=2*0,5=1

U_A(0,75)=-3*0,75²+2=0,31

V_A(0,75)=2*0,75=1,5

U_A(1)=-3*1²+2=-1

V_A(1)=2*1=2

U_A(2)=-3*2²+2=-10

V_A(2)=2*2=4.

Итоги расчётов занесём в таблицу 4.

Таблица 4

По полученным значениям строим годограф Михайлова (смотри рисунок 1.26). Из годографа видно, что он (для рассматриваемой системы - системы второго порядка) начинается на положительной полуоси и последовательно навстречу часовой стрелки обходит два квандранты. Значит система устойчивая.

Рисунок 1.26