Определение вектора. Равенство векторов. Сумма векторов и ее свойства. Произведения векторов и числа и его свойства.
Date: 2015-10-07; view: 456.
Геометрическим вектором (или просто вектором) называется направленный отрезок.
Отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая – концом.
Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Из определения равенства векторов непосредственно вытекает следующее утверждение: каковы бы ни были вектор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор PQ с началом в точке Р, равный вектору а.
Суммой a + b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b
при условии, что вектор b приложен к концу вектора a.
Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, обычно называют правилом треугольника.
Свойства:
1) а+ b= b + а (переместительное свойство);
2) (а + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство);
3) Существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a (особая роль нулевого вектора);
4) Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a' такой, что a + a' = 0.
Произведением αа (или аα) вектора a на вещественное число α называется вектор Ь, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную |а|*|α|, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае а > 0 и противоположное направлению вектора а в случае а < 0.
Свойства:
1) α(a + b)= αa + αb (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов);
2) (α + β)а = αа + βа (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел);
3) α(βа) = (αβ)a (сочетательное свойство числовых сомножителей).
Эти свойства имеют фундаментальное значение, ибо они позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в обычной алгебре.