Разложение вектора по базису. Координатное представление.

Date: 2015-10-07; view: 397.

Три линейно независимых вектора a, b и c образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a, b и c, т. е. если для любого вектора d найдутся такие вещественные числа λ, μ и ν, что справедливо равенство:

d = λa + μb + νc.

Два лежащих в плоскости π линейно независимых вектора a и b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости π вектор c может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a и b, т. е. если для любого лежащего в плоскости π вектора c найдутся такие вещественные числа λ, и μ, что справедливо равенство:

c = λa + μb.

Справедливы следующие фундаментальные утверждения:

1) любая тройка некомпланарных векторов a, b и c образует базис в пространстве;

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и b образует базис на этой плоскости.

Принято называть равенство d = λa + μb + νc разложением вектора d пo базису a, b, c, а числа λ, μ и ν — координатами вектора d относительно базиса a, Ь, c.

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса a, b, c и некоторой точки O, называемой началом координат. Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора OM (относительно базиса a, b, c).

Так как каждый вектор OM может быть, и притом единственным способом, разложен по базису a, b, c, то каждой точке пространства M однозначно соответствует тройка аффинных координат λ, μ, ν.