Формула Муавра. Извлечения корня из комплексного числа.

Date: 2015-10-07; view: 841.

Формула Муавра позволяет возводить комплексное число в n-ую степень.

Формула Муавра для показательной формы:

Формула Муавра для тригонометрической формы:

Док-во формулы Муавра.

По индукции:
(cos x + i sin x)^1 = cos 1x + i sin 1x
(cos x + i sin x)^(n+1)=(cos x + i sin x)^n*(cos x + i sin x)=(cos nx + i sin nx)(cos x + i sin x) =
= (cos nx cos x - sin nx sin x) + i (cos nx sin x + sin nx cos x) = cos (n+1)x + sin (n+1)x.

Пусть a= |a|e^iϕ – Фиксированное комплексное число, тогда:

Уравнение zⁿ=a имеет ровно n различных решений (z₀, z₁, ... , z_n-1), причем решения даются формулой:

, где k=0, 1, … , n-1.

Число - действительное положительное, Числа z_k (k=0, 1, … , n-1) называются корнями n-й степени из комплексного числаa (обозн. ).