Классическое определение вероятности

Date: 2015-10-07; view: 501.

Вероятность события — это численная мера объективной возможности его появления.

Если, в частности, множество всех элементарных событий состоит из равновозможных событий (т.е. событий образуют полную группу), то вероятность события равна числу элементарных событий, входящих , деленному на число всех событий, т.е.

. (1)

Случай равновозможных событий называется классическим, поэтому и формула (1) называется классическим определением вероятности.

Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие , называются благоприятными.

Из определения вероятности вытекают следующие свойства:

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

2.Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицу: .

4. Эквивалентные события имеют одинаковую вероятность.

5. , если .

При вычислении общего числа исходов опыта n и числа исходов m, благоприятных событию А, часто бывает необходимо пользоваться понятиями и формулами комбинаторики. Напомним основные из них.

Основная теорема комбинаторики. Пусть есть k действий, осуществляемых одно за другим. Пусть 1-ое действие можно осуществить числом способов, 2-ое — , ..., -ое— числом . Тогда общее число действий можно выполнить способами.

Пример 4. Сколькими способами можно из цифр 0,1,2,3,4 составить различные двузначные четные числа?

Чтобы число было четным, разряд единиц можно заполнить тремя способами; чтобы оно было двузначным, есть 4 варианта заполнения разряда десятков. Общее число способов составления двузначного четного числа .

Перестановкой из элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все различных элементов данного множества. Число перестановок различных элементов обозначается и вычисляется по формуле:

.

( Знак «!» читается как «факториал», по определению считается 0!=1.)

Пример 5. Сколькими способами можно составить различные пятизначные числа из цифр 1,2,3,4,5 без повторения?

Перестановкой пяти цифр можно составить =5!= пятизначных чисел.

Размещением из элементов по называется любое упорядоченное подмножество из элементов множества, состоящего из различных элементов, и обозначается . Размещения отличаются либо составом, либо порядком элементов. Число размещений из элементов по обозначается и вычисляется по формуле:

.

Пример 6. Сколькими способами можно выбрать старосту, профорга и культорга из группы 25 человек?

Перестановки по должностям внутри группы выбранных трех человек дают разные наборы, поэтому ответом на вопрос будет число размещений

.

Сочетанием из элементов по называется любое подмножество из элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из различных элементов. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Число сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:

.

Пример 7. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов конференции из группы 25 человек?

Необходимо выбрать из 25 человек группы по 3 человека, эти группы отличаются друг от друга только составом (все «должности» внутри группы одинаковы), поэтому будем считать число сочетаний .

Теперь вернемся к определению классической вероятности события А, вычисляемой по формуле (1).

Пример 8. Найти вероятность того, что при бросании трех монет выпадет ровно 2 орла.

Пусть событие А — выпадение 2 орлов. Подсчитаем общее число исходов опыта n. Каждая монета может лечь либо орлом (О), либо решкой (Р), т.е. имеется две возможности. По основной теореме комбинаторики общее число исходов . Событиями, благоприятными событию А, являются комбинации ООР, ОРО, РОО, =3. Вероятность того, что при бросании трех монет выпадет ровно 2 орла .

Пример 9. В классе 12 мальчиков и 10 девочек. На уроке опрошено четверо учеников. Какова вероятность того, что все они были мальчиками, если опрос любого ученика равновероятен?

Будем считать событием опрос четырех мальчиков. Выбрать четырех человек из класса можно = способами. Из них благоприятными событию являются способов. Следовательно,

.