Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей

Date: 2015-10-07; view: 509.

Вероятность того, что произошло событие при условии, что произошло, называется условной вероятностью события и обозначается или .

Теорема 3. Вероятность произведения двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое произошло:

.

Следствие. Для любых и справедлива формула

.

Пример 11. Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что он правильно ответит на предложенные ему подряд 2 вопроса?

Пусть событие заключается в том, что студент знает первый вопрос, событие — знает второй вопрос.

, (т.к. после первого ответа осталось 24 вопроса, из которых студент знает 19). Тогда вероятность того, что он знает оба вопроса равна

= .

Два события называются независимыми, если появление любого из них не меняет вероятности появления другого, т.е.

.

Теорема 4. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: .

Пример 12. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна . Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

Пусть событие А — в первую смену станок будет работать без неполадок, 1–0,05=0,95. События B и C — бесперебойная работа во вторую и третью смены, 1-0,05=0,95. Событие, заключающееся в том, что за три смены не произойдет ни одной неполадки станка, состоит в совместном наступлении событий A,B и C. События A,B и C независимы, поэтому

.

Пример 13 . В одной урне 5 белых и 10 красных шаров, во второй — 10 белых и 5 красных. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика был вынут белый шар, если из каждого извлечено по одному шару.

Пусть событие — белый шар извлечен из первой урны, событие — белый шар извлечен из второй. События и совместны, поэтому

.