Размерность и свойства векторного пространства

Date: 2015-10-07; view: 420.

Пусть V – конечномерное векторное пространство. Число n элементов произвольного базиса V называется размерностьюV и обозначается dimV = n . В этом случае говорят, что V – n -мерное пространство. Нулевое пространство {0} будем считать нульмерным, т.е. dim{0} = 0.

Некоторые свойства векторных пространств:

1)Значение суммы комплексного числа векторов не зависит от порядка суммирования (например, x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z) ). Поэтому операцию сложения векторов можно распространить на любое конечное число векторов.

2)Произведение нулевого вектора на любое число a из основного поля равно нулевому вектору, т.е. a×0=0. Действительно,

a×0=a×(0+0)=a×0+a×0. Следовательно,a×0=a×0-a×0=0.

3)Произведение любого вектора x на число 0 равно нулевому вектору, т.е. x×0. Действительно,x×0=x×(0+0)=x×0+x×0,откуда:

x×0=x×0-x×0=0.

4)Если αx=0,то либо α=0,либо х=0.В самом деле, если α ¹ 0, то

х =1х=[(1/α)×α]×х=(1/α)(αх)=(1/α)×0=0.

5)Для каждого вектора х противоположный вектор равен произведению х на число -1, т.е. –х= -1х. В самом деле,

х+(-1)х=1х+(-1)х=(1-1)х=0х=0. Означает, что вектор (-х) является противоположным к вектору х.

6)Для любого вектора х и любого числа α выполняется равенство α(-х)=(-αх).Действительно,

α(-х)= α[(-1)х]= [α(-1)]х= (-1)(αх) =(-αх).

7)Для любых векторов х и у и любого числа α выполняется равенство α(х-у)= αх- αу. В самом деле,

α(х-у)= α[х+(-у)]= αх+ α(-у)= αх- αу.

8)Для любого вектора х и любых чисел α,β выполняется равенство

(α- β)х= αх- βх, так как

(α −β)x=[α +(−β)]x=αx+(−β)x=αx−βx.