Ранг матрицы

Date: 2015-10-07; view: 395.

Пусть дана матрица

Столбцы матрицы А будем рассматривать как векторы линейного арифметического пространства К_m, а саму матрицу A – как конечную систему векторов.

Рангом матрицыназывают ранг системы столбцов этой матрицы. Ранг матрицы обозначают через rang(A).

Если в матрице А выбраны какие-либо k строк и k столбцов, то определитель k-го порядка расположенных на пересечении выбранных строк и столбцов, называют минором k-го порядка матрицы А.

Некоторые свойства ранга матрицы.

1) При транспонировании матрицы ее ранг не изменяется.

2) При перестановке строк (столбцов) матрицы ее ранг не изменяется.

3)Ранг матрицы не изменяется при умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) на нулевое число.

4) Ранг матрицы не изменится, если из нее удалить или в нее добавить строку (столбец). состоящую из нулей.

5) Ранг матрицы не изменится, если к одной ее строке (столбцу) приставить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

6)Ранг матрицы не изменяется, если из нее удалить или добавить строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других ее строк (столбцов).

Теорема 8.1Если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю все миноры более высокого порядка.

Д-во:

Пусть M – произвольный минор матрицы А порядка, большего k.

В соответствии с теоремой Лапласа, получим:

где M_i =миноры k-го порядка матрицы А. По условию теоремы такие миноры равны нулю. Поэтому равен нуля и минор М. Теорема доказано. Теорема доказана.