Теорема о ранге матрицы

Date: 2015-10-07; view: 421.

Теорема 9.1(теорема о ранге матрицы)

Ранг матрицы равен наивысшую порядку среди отличных от нуля ее миноров. Каждый столбец матрицы линейно выражается через ее столбцы, проходящие через какой-либо из таких миноров.

Д-во:

Пусть дана матрица А = ( ) и пусть наивысший порядок среди ее ненулевых миноров равен r.

A =

Докажем. что столбцы, входящие в минор D, образуют линейно независимую подсистему в системе столбцов матрицы А. Для этого надо показать, что любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы а₁, а₂, … ,а _r , входящие в минор D.

Выберем произвольный l-ый столбец.

При l £ r:

Пусть l > r. Выбираем произвольную i-ю строку, 1 £ i £ m, и ставим определитель

Если i £ r, то в определителе две одинаковые строки и он равен нулю. Если же i > r, то этот определитель есть минор (r+1)-го порядка матрицы А и поэтому равен нулю.

Таким образом, определитель нулевой при любом i.

Получим: (1)

где , … , – алгебраические дополнения элементов последней строки определителя , причем = D 0

Из равенства (1) находим:

, i = 1,2,…,m

Данное равенство означает, что l-ый столбец матрицы А линейно выражается через столбцы, входящие в минор D. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 9.2 Ранг прdоизведения нескольких матриц не превышает рангов матриц каждого из сомножителей.

Теорема 9.3 Если А – если матрица размера m´n, Q₁ и Q₂ – квадратные невырожденные матрицы порядков m и n, то

rang(Q₁A) = rang(АQ₂) = rang(A).

Д-во:

Согласно теореме 9.3 для произведения C = C имеем:

rang(C) £ rang(A) и в то же время, поскольку А = C, заключаем, что

rang(А) £ rang(С). Из полученных неравенств вытекает равенство rang(C) = rang(A). Теорема доказана.